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【www.easydail.com--基础知识】
以下是小学生作文网www.zzxu.cn小编为你推荐的等比数列的前n项和教案，希望对你有所帮助。等比数列的前n项和教案
学科：数学
教学内容：等比数列的前n项和
【基础知识精讲】
1.基础知识图表
2.前n项和公式
若数列{an｝是公比为q的等比数列，则它的前n项和公式是
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.
当q≠1时，求等比数列前n项和Sn的方法一般是利用Sn的表达式的特点，首先在Sn=a1+a1q+…+a1qn-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位;然后通过求Sn-qSn把相同的项消去，达到简化的目的;最后从中解出Sn.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应该很好地掌握它.
求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：
当q=1时，Sn=na1
当q≠1时，
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn
=a1+q·Sn-a1qn
=a1(1-qn)+q·Sn
∴(1-q)Sn=a1(1-qn),
∴Sn=
.
在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+…+xn，认为其和为
是错误的.
【重点难点解析】
本节重点是等比数列前n项和公式及其应用.难点是求和公式的推导.等比数列前n项和公式要注意对公比q进行讨论，分q=1和q≠1两种情况.求等比数列前n项和的思想和方法在求一些特殊数列的前n项和中经常运用到.
例1 设等比数列{an｝的前n项和为Sn，若
S3+S6=2S9，求公比q的值.
分析 本题主要考查等比数列求和公式的基础知识，逻辑推理能力和运算能力.在求解中要全面考虑公式q=1和q≠1两种情况，否则就会造成失误.
解法一：若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9,
所以q≠1.依等比数列前n项和公式有
+
=
,
整理得q3(2q6-q3-1)=0.
因为q≠0，所以2q6-q3-1=0,
(q3-1)(2q3+1)=0.
因为q≠1，所以q3≠1,所以q3=-
，
q=-
=-
.
解法二：因为S3+S6=2S9，所以
2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),
此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，
-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，
由此解得q3=-
,q=-
.
评析 在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.
例2 设等比数列的首项为a(a>0)公比为q(q>0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.
解：由Sn=80,S2n=6560,故q≠1
化简得
∴有
③
知
∵a>0，q>1，等比数列递增数列，故前n项中最大项为an.
∴an=aqn-1=54 ④
将③代入①化简得a=q-1 ⑤
化简得3a=2q ⑥
由⑤，⑥联立方程组解得a=2,q=3
例3 等比数列{an｝的前n和等于2，紧接其后的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S，求S.
分析 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用.本题实际为已知Sn=2，S3n-Sn=12，要求S6n-S3n的值.由等比数列知，前n项成等比数列，紧接其后的2n项也成等比数列，再紧接的3n项也成等比数列，可分别求和列方程.
解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，
由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.
将q=2代入③式得S=112，将q=-3代入③式得S=-378.
例4 求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n项和Sn.
分析 要求数列前n项的和，必须先求出数列的通项公式.
解：据题设条件分析可知：
an=an-1+an+an+1+…+a2n-2
①当a=1时，an=n,∴Sn=
.
②当a≠1时，Sn=
=
-
.
(1)当a≠±1时，Sn=
[
-
]
=
[(1-an)(1-an+1)]
(2)当a=-1时，Sn=
[
+n]
评析 ①由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a，故必须分两种情况(a=1及a≠1)来讨论.
②在进一步求和时，由于又出现公比为a2的等比数列求和，故又得分a2=1及a2≠1来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a≠±1三种情况来讨论.
【难题巧解点拨】
例1 设等比数列{an｝的公比与前n项和分别为q与Sn，且q≠1,S10=8.求
的值.
分析 一个条件不能确定a1与q.不妨将S10与S20用a1、q表示出来，进行对比，兴许有点门道.
解：∵
=8,
∴
=
=8.
评析 一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：
S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+q10S10=S10(1+q10),
故
=S10=8.
例2 设等比数列{an｝的前n项和为Sn，求证：S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).
分析 从整体结构入手，寻找Sn、S2n、S3n之间的关系，作差计算，不仅简便，而且求解过程完备.
解：设{an｝的公比为q,则
S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn)
S3n=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n)
∴S2n+S22n-Sn(S2n+S3n)
=S2n+S2n(1+qn)2-S2n[(1+qn)+(1+qn+q2n)]
=S2n+S2n(1+qn)2-S2n[1+(1+qn)2]
=0
∴S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).
评析 本题的结论是等比数列的又一性质：(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
例3 已知数列{an｝满足条件：a1=1,a2=r(r>0)，且{anan+1｝是公比为q(q>0)的等比数列.设bn=a2n-1+a2n，求数列{bn｝的前n项和Sn.
分析
=q
=q
=q.
解：∵
=q ∴an+2=anq，
∴
=
=
=q,
且q≠0,b1=1+r≠0
∴{bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列，
评析 解题的关键是等比数列{bn｝的发现，只要紧抓等比数列的定义来分析，就能使隐含着的条件显露出来，促成问题的快速解决.
【课本难题解答】
课本第133页练习第4题：当q=1时，S7=7a1，S14-S7=14a1-7a1=7a1
S21-S14=21a1-14a1=7a1，从而S7(S21-S14)=(S14-S7)2
当q≠1时，S7=
;S14=
;S21=
;
可得S7(S21-S14)=(S14-S7)2.
也可以这样证明：S14-S7=(a1+a2+…+a14)-(a1+a2+…+a7)
=a8+a9+…+a14
=a1q7+a2q7+…+a7q7
=(a1+a2+…+a7)q7
=q7S7
同理可得S21-S14=q14S7
因此S7(S21-S14)=(S14-S7)2
可类似证明Sk,S2k-Sk,S3k-Sk成等比数列.
【命题趋势分析】
1.数列内容在高考试题中占比重较大，等比数列的前n项和多次出现在中难题上.因此，对数列的综合问题要引起重视，注意应用题的练习，提高数学建模能力.
2.灵活应用通项公式与前n项和公式是高考考查的重点，同时要注意运用函数的观点揭示分析和解决有关等比数列的综合题.
3.在历届高考试题中等比数列的定义、通项公式、前n项和公式经常融进各种类型的题目中.我们要在熟练掌握，灵活应用上下功夫，同是，还要注意等差、等比数列的综合运用.
4.等比数列是最基本的数列.等比数列的定义是研究等比数列的性质和判定，推导前n项和公式的出发点和依据;通项公式与前n项和公式联系着五个基本量：a1,q,n,an,Sn，任知其中三个量，可以求得另外两量是本章中最基本的、经常遇到的、必须熟练解决的基本问题.
5.等比数列前n项和公式的推导方法“错位相减法”要予以重视，在求由等差、等比数列组成的积数列的和时也要应用此方法.
6.在解等比数列求和有关问题时，根据问题的实际，有时需分q=1和q≠1两种情况分类讨论.
【典型热点考题】
例1 设{an｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：
>log0.5Sn+1.
分析 只需证明SnSn+2<S2n+1.
解：∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1
∴S2n+1-SnSn+2
=Sn+1(a1+qSn)-Sn(a1+qSn+1)
=a1(Sn+1-Sn)=a1an+1>0
∴SnSn+2<S2n+1
∴log0.5(SnSn+2)>log0.5S2n+1.
∴
>log0.5Sn+1.
评析 由a1>0，q>0及qSnSn+2=qSn(a1+qSn+1)<a1qSn+1+q2SnSn+1=qS2n+1，亦可推得SnSn+2<S2n+1.
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等比数列的前n项和教案由小学生作文网(www.zzxu.cn)收集整理,转载请注明出处!原文地址http://www.zzxu.cn/jiaoan/436891.html
上一页 1 2 3 下一页例2 设等比数列{an｝的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
分析 由条件式建立一个关于q的方程.
解：若q=1,则S3+S6-2S9=-9a1≠0，与题设矛盾，故q≠1.
从而，依题意得
+
=
,
整理得q3(q3-1)(2q3+1)=0,
∵q≠0,q≠1
∴2q3+1=0,
∴q=-
.
评析 解题过程中运用了分类讨论的思想.
例3 设{an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有自然数n，an与2的等差数列等于Sn与2的等比中项.
(1)写出{an｝的前3项.
(2)求{an｝的通项公式(写出推理过程).
(3)令bn=
(
+
),n∈N
求证：b1+b2+…+bn-n=
.
解：(1)当n=1时，有
=
,而S1=a1
∴
=
.∴a1=2.
当n=2时有
=
,而S2=a1+a2=2+a2
∴
=
∴a2=6或a2=-2(舍)
当n=3时，有
=
而S3=a1+a2+a3=8+a3
∴
=
.∴a3=10.
故前3项为2，6，10.
(2)由题意有
=
(n∈N+)
∴Sn=
(an+2)2.
由此知Sn+1=
(an+1+2)2.
∴an+1=Sn+1-Sn=
[(an+1+2)2-(an+2)2]
整理得 (an+1+an)(an+1-an-4)=0
而 an+1+an≠0
∴an+1-an=4 ∴{an｝为等差数列，其中a1=2，d=4
∴an=a1+(n-1)d，∴an=4n-2
(3)令cn=bn-1，则b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn
且cn=
(
+
-2)
∵an=4n-2,an+1=4n+2
∴cn=
[(
-1)+(
-1)]=
-
∴b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn
=(1-
)+(
-
)+…+(
-
)
=1-
∴b1+b2+…+bn-n=
评析 ①已知an与Sn的混和递推关系，一般有两条途径可供转化.均是利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，一条路可转化为关于an与an-1的递推关系，另一条路是转化为关于Sn与Sn-1的递推关系.如本例就是转化为an的.又如：已知数列{an｝的前n项和满足S1=4，当n≥2时，an=
，试求{an｝的通项公式.读者不妨去试一试!
②在(3)题中，数列求和的方法是裂项法.
例4 已知等差数列{an｝的第二项a2=5，前10项之和S10=120.若从数列{an｝中依次取出第2项，第4项，第8项，…第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn｝，且这个数列的前n项之和为Tn，试比较Tn+1与2Tn的大小.
解：设{an｝的公差为d,
则
∴
∴an=3+(n-1)·2=2n+1
数列bn=
=2·2n+1
∴Tn=n+2(21+22+23+…+2n)
=n+2·
=2n+2+n-4
Tn+1-2Tn=(2n+3+n-3)-2(2n+2+n-4)
=5-n
当n>5，n∈N时，
Tn+1<2Tn，当n=5时，Tn+1=2Tn
当1≤n≤5时，即n=1,2,3,4时，Tn+1>2Tn.
【知识验证实验】
计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数
转换成十进制数的形式是(B)
A.217-2 B.216-1 C.216-2 D.215-1
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上一页 1 2 3 下一页【知识探究学习】
某县位于沙漠地带，人与自然进行长期的斗争，到1998年底全县土地面积的绿化率已达40%，从1999年开始，每年将出现这样的局面，即到前一年年末还存在沙漠面积的20%将被绿化，与此同时，由于各种原因，到前一年年末已被绿化的面积的5%又将重新被沙化.
设全县土地面积为P，1998年底的绿化面积为a1，经过n年后绿化面积为an+1.
(1)求a1，a2，a3;
(2)求证：an+1-
p=
(an-
p);
(3)求an.
解：(1)由题意a1=P·40%=0.4P.
a2=a1+(P-a1)20%-a15%=0.5P
a3=a2+(P-a2)20%-a25%=0.575P
(2)一般有an+1=an+(P-an)20%-an5%=
an+
P
∴ an+1-
P=
an-
P=
(an-
P)
(3)∴ {an-
P｝是以a1-
P=-
P为首项，
为公比的等比数列，
∴ an-
P=-
P(
)n-1.
∴ an=
P-
P(
)n-1.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.在等比数列{an｝中，S4=2,S8=6,a17+a18+a19+a20等于( )
A.32 B.16 C.35 D.162
2.已知等比数列{an｝的公比q=
，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于( )
A.100 B.80 C.60 D.40
3.一个等比数列，它的前n项和Sn=abn+c，其中a、b、c为常数且a≠0，b≠0且b≠1，则a、b、c必须满足( )
A.a+b=0 B.b+c=0 C.a+c=0 D.a+b+c=0
4.等比数列{an｝的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于( )
A.70 B.90 C.100 D.120
5.一个等比数列{an｝的首项为a1=2，公比q=3，从第m项到第n项(m<n)的和为720，则m的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.数列{an｝是由实数构成的等比数列，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn｝中( )
A.任一项均不为0 B.必有一项不为0
C.至多有有限项为0 D.或无一项为0，或有无穷多项为0
7.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低
，现在的价格是8100元，则15年后，价格降低为( )
A.2200元 B.900元 C.2400元 D.3600元
8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1的前n项和Sn等于( )
A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n-2n
9.一个等比数列{an｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an+1为( )
A.
B.
C.20 D.110
10.已知等比数列{an｝中，an=2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为( )
A.3n-1 B.3(3n-1) C.
D.
二、填空题
1.已知lgx+lgx2+…+lgx10=110,则lgx+(lgx)2+…+(lgx)10= .
2.在等比数列{an｝中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则n= .
3.S=1+a+a2+a3+…+a10= .
4.等比数列首项为2，公比为3，从前 项的和开始大于100.
三、解答题
1.已知等比数列{an｝的首项a1>0，公比q>0.设数列{bn｝的通项bn=an+1+an+2(n∈N+)，数列{an｝、{bn｝的前n项和分别为An与Bn，试比较An与Bn的大小.
2.已知数列{an｝为等差数列，公差d≠0，其中
,
,…,
恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn的值.
3.设数列{an｝的前n项和Sn=2an-4(n∈N+)，数列{bn｝满足：bn+1=an+2bn，且b1=2，(1)求通项an.(2)求{bn｝前n项的和Tn.
【素质优化训练】
1.设数列{an｝的前n项和Sn=3n-c，求证：c=1是数列{an｝为等比数列的充要条件.
2.数列{an｝为等比数列，项数为偶数且各项为正数.如果该数列所有项的和为偶数项的和的4倍，且a2·a4=9(a3+a4).问数列{lgan｝的前多少项的和最大?
【生活实际运用】
1.某种果树至少要培植五年才可以开始采果，有一农户于1988年初利用边角地种植了一批这种果树，1993年开始采果，当年的产量为156千克，1994年至1998年连续5年每年的产量平均比上一年增加50%还多34千克，从1999年起，由于管理等方面的原因导致产量开始下降，且平均每年比上一年减少10%，据估计这种情况还会继续下去.
(1)1998年，该农户采得这种水果多少千克?
(2)如果用Sn表示该农户从1993年起的n(n∈N)年内采得这种水果的总量，试求出用n表示的Sn的表达式，并据此计算，到2000年，该农户共采得这种水果多少千克?(精确到1千克)
2.某君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，若存入银行年利率为6%，若购某种股票年红利为24%，不考虑物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份公司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行.
(1)求某君购股票或储蓄x年后所拥有人民币总额y与x的函数关系式;
(2)问经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等?(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg1.06=0.0253)
参考答案：
【同步达纲练习】
一、1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B 10.D
二、1.2046 2.5 3.11或
4.5
三、1.1°q>
时，Bn-An>0，得Bn>An
2°q=
时，Bn-An=0，得Bn=An.
3°0<q<
时，Bn-An<0，得Bn<An.
2.3n-n-1.
3.解：(1)2n+1 (2)Tn=(n-1)2n+1+2.
【素质优化训练】
1.略 2.前5项的和最大.
【生活实际运用】
1.解：(1)1998年的产量a6=1633(千克)
(2)Sn=
到2000年底的总产量S8=20577-16330·
2=7349.7≈7350(千克).
2.解：(1)设某君有人民币a元，若长期储蓄，则x年后人民币总额为y=a(1+0.06)x，即y=1.06x·a.
若购买股票，则x年后利息和红利总额为
y=[0.24+0.24(1+0.06)+0.24(1+0.06)2+…+0.24(1+0.06)x-1]a
=
a
即y=4(1.06x-1)a.
(2)由1.06x·a=4(1.06x-1)a，得1.06x=
，两边取以10为底的对数，得
x=
=
≈4.9368.
即大约经过5年，股票与储蓄拥有的人民币相等.
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