【www.easydail.com--中考作文题目】

正弦函数是三角函数的一种，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正弦函数就是sinA=a/c，即sinA=BC/AB。下面是五度学习网www.wudu001.com分享的正弦函数余弦函数的性质，供大家参考!

　　正弦函数余弦函数的性质

　　1.正弦函数、余弦函数图像的画法

　　(1)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可作出正弦函数、余弦函数图像的方法.

　　(2)几何法：利用单位圆中的正弦线、余弦线来作出正弦函数、余弦函数图像的方法.

　　(3)五点法：观察正弦函数图像可以看出，(0，0)，(

，1)，(π，0)，(
，-1)，(2π，0)这五个点在确定正弦函数图像形状时起着关键的作用.这五个点描出后，正弦函数y=sinx,x∈[0，2π]的图像的形状就基本上确定了.

 

　　(0，1)，(

，0)，(π，-1)，(
，0)，(2π，1)这五个点描出后，余弦函数y=cosx,x∈[0，2π]的图像的形状就基本上确定了.

 

　　在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫做五点法.

　　2.正、余弦函数的性质

　　y=sinxy=cosx

　　定义域RR

　　值域[-1,1][-1,1]

　　奇偶性奇函数偶函数

　　单调性在每个区间[2kπ-

，2kπ+
]上递增，在每个区间[2kπ+
,2kπ+
]上递减(k∈Z)在每个区间[(2k-1)π,2kπ]上递增，在每个区间[2kπ,(2k+1)π]上递减(k∈Z)

 

　　周期性2π2π

　　有界性当x=2kπ-

(k∈Z),y最小=-1，当x=2kπ+
(k∈Z)时，y最大=1当x=(2k+1)π(k∈Z)时,y最小=-1，当x=2kπ(k∈Z)时，y最大=1

 

　　(注：在单调性中，把函数说成在某象限是增函数或是减函数是不正确的).

　　3.周期函数

　　三角函数的周期性，是角的终边位置周期性的变化的反映，这种周期性清晰地表现在三角函数的图像中，对于周期函数，只要掌握它在一个周期的性质(提供研究问题的方案：先解答一个周期上的问题，再按周期性推广)

　　周期函数定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数T≠0，使得对一切x∈D,且x+T∈D时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

　　对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期。今后的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期，并不是所有的周期都存在最小正周期.

　　【重点难点解析】

　　(1)利用三角函数线可以画出正弦函数、余弦函数的图像，此外，三角函数线还可用来三角函数值的大小比较，有关三角函数不等关系的证明.

　　(2)一般地，我们常用“五点法”，画出正弦函数与余弦函数的图像.三角函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，在其图像上都被充分地反映出来.因此，熟练掌握画三角函数图像的方法，用数形结合的方法解决有关三角函数问题是很重要的.

　　(3)对于比较三角函数值，一般利用诱导公式将三角函数化成同名函数的同一单调区间去比较.

　　例1 (1)用“五点法”作出函数y=2+sin

x在一个周期内的简图;

 

　　(2)求函数的最大、最小值及取得最小、最小值时的x的集合;

　　(3)求函数的周期.

　　解：(1)

　　x0π2π3π4π

　　y23212

　　所作图像如图所示.

　　

 

　　(2)当sin

=1时，ymax=3.

 

　　即

=2kπ+
,x=4kπ+π(k∈Z)时，ymax=3.

 

　　当sin

=-1,
=2kπ-
,x=4kπ-π(k∈Z)时，ymin=1

 

　　(3)T=

=4π.

 

　　评析：(1)用“五点法”作图，关键是找出函数在一个周期的五个关键点，用列表描点法画简图;(2)求函数的最值，需用正、余弦函数的值域[-1,1].

　　例2 求下列函数的定义域：

　　(1)f(x)=logsinx(1+2cosx)

　　(2)f(x)=lg(sinx-cosx)

　　分析：先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像进行求解.

　　解：(1)∵1+2cosx>0 0<sinx<1

　　

 

　　∴2kπ<x<2kπ+

且x≠2kπ+
(k∈Z).

 

　　故f(x)定义域为(2kπ,2kπ+

)∪(2kπ+
,2kπ+
)(k∈Z).

 

　　(2)∵sinx-cosx>0,∴sinx>cosx，作出y=sinx和y=cosx的图像，由图可知

　　f(x)的定义域为(2kπ+

,2kπ+
).(k∈Z)

 

　　例3 求下列函数的值域

　　(1)y=sin2x-3cosx;(2)y=

 

　　(3)y=

 

　　分析：转化为二次函数或利用sinx的有界性.

　　解：(1)y=-cos2x-3cosx+1=-(cosx+

)2+

 

　　∵-1≤cosx≤1,∴-3≤y≤3.

　　故函数值域为[-3,3]

　　(2)∵ysinx+3y=2sinx-1,∴sinx=

.

 

　　∵|sinx|≤1,∴|

|≤1,∴|1+3y|≤|2-y|.

 

　　∴(1+3y)2≤(2-y)2,∴-

≤y≤
.

 

　　故函数值域为[-

,
].

 

　　(3)∵2y+ycosx=

sinx,∴
sinx-ycosx=2y

 

　　∴

sin(x-φ)=2y(tgφ=-
)

 

　　∴sin(x-φ)=

,

 

　　∵|sin(x-φ)|≤1,∴

≤1

 

　　∴4y2≤3+y2,∴-1≤y≤1.

　　故函数值域为[-1,1].

　　例4 下列函数中是奇函数的为( )

　　A.y=

; B.y=
;

 

　　C.y=2cosx; D.y=lg(sinx+

)

 

　　解：∵lg[sin(-x)+

]

 

　　=lg(

-sinx)=lg

 

　　=lg(sinx+

)-1

 

　　=-lg(sinx+

),

 

　　又∵当x∈R时，均有sinx+

>0(为什么?)

 

　　∴D为奇函数，应选D.

　　说明：A、C为偶函数，而B无奇偶性.

　　例5 已知函数f(x)=log

|sinx-cosx|,

 

　　(1)求出它的定义域和值域;

　　(2)判断它的奇偶性;

　　(3)求出它的单调区间;

　　(4)判断它的周期性.

　　分析：本题是一道综合性的问题，需根据所给的函数的定义，全面考察所给函数的性质.

　　解：(1)函数f(x)的定义域由sinx-cosx≠0决定.

　　即sin(x-

)≠0,x≠kπ+
(k∈Z).

 

　　所以f(x)的定义域为{x|x∈R且，x≠kπ+

,k∈Z}.

 

　　由于f(x)=log

|sinx-cosx|=log
|
sin(x-
)|.

 

　　∴f(x)的值域为[-

,+∞].

 

　　(2)由于函数的定义域在数轴上关于原点不对称，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

　　(3)函数f(x)=log

u是单调递减函数，其中u=|sinx-cosx|=
|sin(x-
)|.

 

　　由于函数u的单调递增区间是[kπ+

，kπ+
](k∈Z),单调递减区间为[kπ+
,kπ+
](k∈Z).

 

　　因此函数f(x)=log

|sinx+cosx|的单调递增区间是[kπ+
，kπ+
](k∈Z),单调递减区间是[kπ+
,kπ+
](k∈Z).

 

　　(4)∵f(x+π)=log

|sin(x+π)-cos(x+π)|

 

　　=log

|-sinx-(-cosx)|=log
|cosx-sinx|

 

　　=f(x)

　　∴f(x)是周期函数，且π是其一个周期.

　　【难题巧解点拔】

　　例1 求函数y=

+lg(2cosx+
)的定义域.

 

　　分析：求函数的定义域时，这里有两个限制条件、一是被开方式需非负;二是对数的真数要为正，因此要列出混合不等式组进行求解.

　　解：要使函数有定义，就必须有：

　　

 

　　

 

　　∴x=2kπ或2kπ+

<x<2kπ+
,k∈Z.

 

　　故函数的定义域是{x|x=2kπ或2kπ+

<x<2kπ+
,k∈Z}.

 

　　

 

　　说明：在得到了不等式组：

　　

 

　　之后，也可借助于图形(如图所示)来找角的公共范围，即不等式组的解，这样往往会使解法变得简便、直捷.

　　例2 (1)若0<α<

，比较sinα,sin(sinα),sin(tanα)的大小.

 

　　(2)若0<θ<

，比较cosθ,sin(cosθ),cos(sinθ)的大小.

 

　　分析：(1)三个同名函数比较大小，可根据正弦函数的单调性，只须比较出三个角α，sinα,tanα的大小，而由单位圆中的三角函数线可知，当0<α<

时，sinα<α<tanα.

 

　　(2)三个对象其中的两个同名，其中两个同角，故可以两两比较，再作出最后的结果.

　　解：(1)∵0<α<

，

 

　　∴sinα<α<tanα(已证明过)且由单位圆中的正切线知，当0<α<

时，0<tanα<1

 

　　∴0<sinα<α<tanα<1，而y=sinx,在x∈(0,1)单调递增

　　∴sin(sinα)<sinα<sin(tanα).

　　(2)∵0<θ<

时，∴0<cosθ<1

 

　　∴sin(cosθ)<cosθ,又当0<θ<

时，sinθ<θ,而sinθ,θ均在(0，
)里，且y=cosx在x∈(0,
)单调递减，

 

　　∴cos(sinθ)<cosθ

　　∴sin(cosθ)<cosθ<cos(sinθ)

　　例3 证明y=sinx的周期是2π.

　　证明：设y=sinx的最小正周期为l，则有sin(x+l)=sinx对一切x均成立，特别地，当x=0时，sinl=0,可见l=kπ(k∈Z),这说明，l=kπ是l为y=sinx最小正周期的必要条件.

　　又因为最小正周期是周期中的最小正值，于是取k=1,2,3,…，逐次将l=kπ代入sin(x+l)=sinx中检验.

　　当l=π时，因为sin(x+π)=-sinxπ

sinx(对一切x)，所以π不是最小正周期;

 

　　当l=2π时，因为sin(x+2π)≡sinx(对一切x)，故2π是y=sinx的最小正周期.

　　例4 设f(x)是定义在区间(-∞，+∞)上以2为周期的函数，对于k∈Z,用Ik表示区间[2k-1,2k+1],已知当x∈I0时，f(x)=x2.(1)求f(x)在Ik上的解析表达式.(2)对于自然数k,求集Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}.

　　解：用图像法解甚简便.

　　(1)作f(x)的图像(如图)，可知，f(x)=(x-2k)2,x∈Ik.

　　

 

　　(2)作图，由图像可知0<α≤

.

 

　　

 

　　例5 若y=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6;求p、q的值.

　　解：y=1-sin2x+2psinx+p2-p2+q=-(sinx-p)2+p2+q+1,y的最小值取决于(sinx-p)2的最大值，即取决于|sinx-p|的最大值，并且1+|p|≥|sinx|+|p|≥|sinx-p|,等号成立，∴ymin=-(1+|p|)2+p2+q2+1=-1-2|p|-p2+p2+q+1=q-2|p|=6.

　　对y的最大值讨论如下：

　　(1)当|p|≤1时，当sinx=p时，(sinx-p)2=0,ymax=p2+q+1=9.

　　(2)当|p|>1时，sinx≠p,(i)当p>1时，ymax=-(1-p)2+p2+q+1=2p+q=9,(ii)当p<-1时，ymax=-(-1-p)2+p2+q+1=-2p+q=9.

　　

 

　　

 

　　【课本难题解答】

　　课本第59页第7题：

　　(1)单调增区间[-

+2kπ,
+2kπ](k∈Z),单调减区间：[
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)

 

　　(2)单调增区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z),单调减区间：[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)

　　第8题：(1){x|

+2kπ≤x≤
+2kπ,k∈Z},

 

　　(2){x|-

π+2kπ≤x≤
π+2kπ,k∈Z}.

 

　　第9题：(1){x|x≠

+2kπ,k∈Z} (2){x|x≠2kπ,k∈Z}

 

　　(3){x|-

+2 kπ≤x≤
+2kπ,k∈Z} (4){x|(2k-1)π≤x≤2kπ,k∈Z}.

 

　　【命题趋势分析】

　　本节内容是高考试题的“热点”，题型以选择题、填空题为主，难度为容易题或中等题，一般地，与本章其他知识综合在一起考查，重点考查正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性，如求单调区间、最小正周期、三角函数的最大值或最小值及值域等.

　　【典型热点考题】

　　例1 满足sin(x-

)≥
的x的集合是( )

 

　　A.{x|2kπ+

≤x≤2kπ+
,k∈Z}

 

　　B.{x|2kπ-

≤x≤2kπ+
,k∈Z}

 

　　C.{x|2kπ+

≤x≤2kπ+
,k∈Z}

 

　　D.{x|2kπ≤x≤2kπ+

,k∈Z}∪{x|2kπ+
≤x≤(2k+1)π,k∈Z}

 

　　分析：本题可用单位圆中三角函数线或者三角函数图像求解.

　　解：设θ=x-

,画图即可知：

 

　　2kπ+

≤θ≤2kπ+

 

　　∴2kπ+

≤x≤2kπ+
(k∈Z)

 

　　∴应选A.

　　说明：本题可以从选择支中取值验证.

　　例2 函数y=sin(πx+2)的最小正周期是 .

　　分析：利用公式y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期为

.

 

　　解：∵ω=π,∴T=

=
=2

 

　　∴应填2.

　　例3 函数y=sin(2x+

)的图像的一条对称轴方程是( )

 

　　A.x=-

B.x=-
C.x=
D.x=

 

　　解：已知函数可化为y=sin(2x+

)=cos2x.作出函数y=cos2x的图像便可以清楚地看到x=-
为它的一条对称轴.

 

　　∴应选A.

　　说明：事实上，对称轴过图像的最高点，或最低点，用代入法，便可知x=-

时，y取最小值-1.

 

　　例4 用减函数的定义证明y=cosx在[0,π]上是单调递减的.

　　证明：任取0≤x1<x2≤π,有y1-y2=cosx1-cosx2=-2sin

sin

 

　　∵0≤x1<x2≤π,∴0<

<π,-
≤
<0,∴sin
>0,sin
<0

 

　　∴-2sin

sin
>0,即y1>y2.故y=cosx在[0,π]上是单调递减的.

 

　　例5 求函数y=(sinx+

)(cosx+
)的最值.

 

　　解：y=

(sinx+cosx)+sinxcosx+3.令sinx+cosx=t∈[
，
]，

 

　　则sinxcosx=

，所以y=
(t+
)2+1.

 

　　当t=

即x=2kπ+
(k∈Z)时，ymax=
;

 

　　当t=-

即x=2kπ-
(k∈Z)时，ymin=
.

 

　　说明：(1)三角代换可将三角函数的最值问题转化为二次函数在闭区间上求最值的问题.

　　(2)要防止出现下述错误：当t=-

时，ymin=1(t∈[-
,
]). 更多相关内容：
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