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2022年贵州毕节中考数学试题及答案

一、选择题(本题15小题,每小题3分,共45分)

1. 2的相反数是(   )

A. 2                   B. -2                 C.                   D.

【答案】B

【解析】

【详解】2的相反数是-2.

故选:B.

2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(    )

A.     B.          C.        D.   

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可.

【详解】A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意;

B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;

C.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;

D.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意,

故选:C.

【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形,理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键.

3. 截至2022年3月24日,携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天,距离地球277000000千米;277000000用科学记数法表示为(    )

A.            B.            C.             D.

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值≥10时,n是正整数数.

【详解】解:由题意可知:

故选:D.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4. 计算的结果是(    )

A.                 B.                 C.                  D.

【答案】C

【解析】

【分析】“积的乘方,先把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘”根据积的乘方的性质进行计算即可的解.

【详解】解:

故选:C

【点睛】本题考查了积的乘方的性质,熟记性质,理清指数的变化规律是解题的关键.

5. 如图,,其中,则的度数为(    )

A                 B.                 C.                D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据两直线平行同旁内角互补,可求出的对顶角即可.

【详解】解:如图:

互为对顶角;

故选:B.

【点睛】本题考查了平行线的性质,对顶角、解题的关键是:利用平行线的性质得出同旁内角互补,再利用对顶角相等即可求解.

6. 计算的结果,正确的是(    )

A.                 B.                 C.            D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比,再按照正确的运算顺序进行计算即可.

【详解】解:

=.

故选:B

【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识,熟练掌握运算法则是解题的关键.

7. 如果一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是(    ).

A. 3                   B. 4                   C. 7                   D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形三边之间的关系即可判定.

【详解】解:设第三边长为x,则4

故选:C.

【点睛】本题考查了三角形三边关系,三角形中,任意两边之差小于第三边,任意两边之和大于第三边.

8. 在中,用尺规作图,分别以点A和C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点M和N.作直线交于点D,交于点E,连接.则下列结论不一定正确的是(    )



A.            B.            C.            D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据作图可知AM=CM,AN=CN,所以MN是AC的垂直平分线,根据垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,且平分此点到线段两端构成的夹角,分别对各选项进行判断.

【详解】由题意得,MN垂直平分线段AC,

∴,,

所以B、C、D正确,

因为点B的位置不确定,

所以不能确定AB=AE,

故选 A

【点睛】本题考查了线段垂直平分线,熟练掌握线段垂直平分线的作图方法和性质是解题的关键.

9. 小明解分式方程的过程下.

解:去分母,得         .①

去括号,得             .②

移项、合并同类项,得   .③

化系数为1,得          .④

以上步骤中,开始出错的一步是(    )

A. ①                  B. ②                  C. ③                  D. ④

【答案】B

【解析】

【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断

【详解】解:,

去分母,得  ,

去括号,得  ,

移项,得,

合并同类项,得   ,

∴以上步骤中,开始出错的一步是②.

故选:B

【点睛】此题考查了解分式方程,以及分式方程的解,熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键.

10. 如图,某地修建一座高的天桥,已知天桥斜面的坡度为,则斜坡的长度为(  )

A.                 B.              C.                  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用坡度定义得出的长,再利用勾股定理得出的长.

【详解】∵,,

∴,

解得:,

则.

故选:A.

【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用.由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键.

11. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两,问马、牛各价几何?”设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程组为(    )

A.       B.        C.        D.

【答案】C

【解析】

【分析】设马每匹x两,牛每头y两,根据“马四匹、牛六头,共价四十八两”可列方程,根据“马三匹、牛五头,共价三十八两”可列方程,联立两个方程即得方程组.

【详解】设马每匹x两,牛每头y两,由题意得

故选 D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据题意找出等量关系分别列方程是解题关键.

12. 如图,一件扇形艺术品完全打开后,夹角为,长为,扇面的长为,则扇面的面积是(    )

A. 375πcm2             B. 450πcm2             C. 600πcm2             D. 750πcm2

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式,利用减去即可得扇面的面积.

【详解】解:cm,cm

cm

=cm2.

故选:C

【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转

化为已学图形的面积是解决本题的关键.

13. 现代物流的高速发展,为乡村振兴提供了良好条件,某物流公司的汽车行驶后进入高速路,在高速路上匀速行驶一段时间后,再在乡村道路上行驶到达目的地.汽车行驶的时间x(单位:h)与行驶的路程y(单位:)之间的关系如图所示,请结合图象,判断以下说法正确的是(    )

A. 汽车在高速路上行驶了                   B. 汽车在高速路上行驶的路程是

C. 汽车在高速路上行驶的平均速度是      D. 汽车在乡村道路上行驶的平均速度是

【答案】D

【解析】

【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h;汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km;汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h;汽车在乡村道路上行驶的平均速度是(220-180)÷1=40km/h,即可求解.

【详解】解:A、根据题意得:汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h,故本选项错误,不符合题意;

B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km,故本选项错误,不符合题意;

C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h,故本选项错误,不符合题意;

D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是(220-180)÷1=40km/h,故本选项正确,符合题意;

故选:D

【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题,明确题意,准确从函数图象获取信息是解题的关键.

14. 在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:①;②;③;④;⑤.其中正确的有(    )

A. 1个                 B. 2个                 C. 3个                 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

【详解】解:①∵抛物线的开口方向向下,

∴a<0,

∵对称轴在y轴右侧,

∴对称轴为x=>0,

∵a<0,

∴b>0,

∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,

∴c>0,

∴abc<0,

故①错误;

②∵对称轴为x==1,

∴b=﹣2a,

∴2a+b=0,

故②错误;

③由图象的对称性可知:当x=3时,y<0,

∴9a+3b+c<0,

故③错误;

④由图象可知,该抛物线与x轴有两个不同的交点,

∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac;

故④正确;

⑤由图象可知当x=﹣1时,y<0,

∴a﹣b+c<0,

∴,

故⑤正确.

综上所述,正确的结论是:④⑤.

故选:B.

【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系,利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础,数形结合的方法是解题的关键.

15. 矩形纸片中,E为的中点,连接,将沿折叠得到,连接.若,,则的长是(    )

A. 3                   B.                  C.                   D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接BF交AE于点G,根据对称的性质,可得AE垂直平分BF,BE=FE,BG=FG=,根据E为BC中点,可证BE=CE=EF,通过等边对等角可证明∠BFC=90°,利用勾股定理求出AE,再利用三角函数(或相似)求出BF,则根据计算即可.

【详解】连接BF,与AE相交于点G,如图,

∵将沿折叠得到

∴与关于AE对称

∴AE垂直平分BF,BE=FE,BG=FG=

∵点E是BC中点

∴BE=CE=DF=

∵BE=CE=DF

∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF

∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=

故选 D

【点睛】本题考查了折叠对称的性质,熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键.

二.填空题

16. 分解因式:______.

【答案】

【解析】

【分析】直接提取公因式2,再利用平方差公式分解因式得出答案.

【详解】解:2x2-8=2x(x2-4)=2(x+2)(x-2).

故答案为: 2(x+2)(x?2) .

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确运用平方差公式分解因式是解题关键.

17. 甲乙两人参加社会实践活动,随机选择“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项,那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 __.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】画树状图,展示所有4种等可能的结果数,找出符合条件的结果数,然后根据概率公式求解即可.

【详解】解:把“做社区志愿者”和“做交通引导员”分别记为A、B,

画树状图如下:

共有4种等可能的结果,其中两人同时选择“做社区志愿者”的结果有1种,

∴两人同时选择“做社区志愿者”的概率为,

故答案为:.

【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率,解题的关键是用树状图列出所有等可能的结果以及熟记概率=所求情况数与总情况数之比.

18. 如图,在中,,点P为边上任意一点,连接,以,为邻边作平行四边形,连接,则长度的最小值为_________.



【答案】##2.4


【解析】

【分析】利用勾股定理得到BC边的长度,根据平行四边形的性质,得知OP最短即为PQ最短,利用垂线段最短得到点P的位置,再证明利用对应线段的比得到的长度,继而得到PQ的长度.

【详解】解:∵,

∴,

∵四边形APCQ是平行四边形,

∴PO=QO,CO=AO,

∵PQ最短也就是PO最短,

∴过O作BC的垂线,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴,

∴则PQ的最小值为,

故答案为:.

【点睛】考查线段的最小值问题,结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度,本题的关键是利用垂线段最短求解,学生要掌握转换线段的方法才能解出本题.

19. 如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点A,B分别在x轴、y轴上,对角线交于点E,反比例函数的图像经过点C,E.若点,则k的值是_________.

【答案】4

【解析】

【分析】作CF垂直y轴, 设点B的坐标为(0,a),可证明(AAS),得到CF=OB=a,BF=AO=3,可得C点坐标,因为E为正方形对称线交点,所以E为AC中点,可得E点坐标,将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中,即可求出k的值.

【详解】作CF垂直y轴于点F,如图,设点B的坐标为(0,a),

∵四边形是正方形,

∴AB=BC,∠ABC=90°,

∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°

∴∠OAB=∠FBC

在△BFC和△AOB中

∴BF=AO=3,CF=OB=a

∴OF=OB+BF=3+a

∴点C的坐标为(a,3+a)

∵点E是正方形对角线交点,

∴点E是AC中点,

∴点E的坐标为

∵反比例函数的图象经过点C,E

解得:k=4

故答案为:4

【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用,巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键.

20. 如图,在平面直角坐标系中,把一个点从原点开始向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到点;把点向上平移2个单位,再向左平移2个单位,得到点;

把点向下平移3个单位,再向左平移3个单位,得到点;把点向下平移4个单位,再向右平移4个单位,得到点;…;按此做法进行下去,则点的坐标为_________.



【答案】

【解析】

【分析】先根据平移规律得到第n次变换时,相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度,再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点,然后推出每四次坐标变换为一个循环,每一个循环里面横坐标不发生变化,纵坐标向下平移4个单位长度,从而求出点A8的坐标为(0,-8),由此求解即可.

详解】解:∵把一个点从原点开始向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到点;把点向上平移2个单位,再向左平移2个单位,得到点;把点向下平移3个单位,再向左平移3个单位,得到点;把点向下平移4个单位,再向右平移4个单位,得到点,

∴第n次变换时,相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度,再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点,

∵O到A1是向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度,A1到A2是向左2个单位长度,向上平移2个单位长度,A2到A3是向左平移3个单位长度,向下平移3个单位长度,A3到A4是向右平移4个单位长度,向下平移4个单位长度,A4到A5是向右平移5个单位长度,向上平移5个单位长度,

∴可以看作每四次坐标变换为一个循环,每一个循环里面横坐标不发生变化,纵坐标向下平移4个单位长度,

∴点A8的坐标为(0,-8),

∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同(只指平移方向)即A8到A9向右平移9个单位,向上平移9个单位,

∴A9的坐标为(9,1),

同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同(只指平移方向),即A9到A10向左平移10个单位,向上平移10个单位,

∴A10的坐标为(-1,11),

故答案为:(-1,11).

【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索,正确找到规律是解题的关键.

三.解答题

21. 先化简,再求值:,其中.

【答案】;

【解析】

【分析】先化简分式,再代值求解即可;

【详解】解:原式=

=

=

=,

将代入得,.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值,掌握分式的运算法则是解题的关键.

22. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.

【答案】-1≤x<2,详见解析

【解析】

【分析】分别求出两个不等式的解集,然后得到不等式组的解集,再表示在数轴上即可

【详解】解:解不等式x-3(x-2)≤8,

得x≥-1,

解不等式,

得x<2,

不等式的解集在数轴上表示为:

∴不等式组的解集为-1≤x<2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,以及用数轴表示不等式的解集,解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法.

23. 某校在开展“网路安全知识教育周”期间,在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组,每组各10人,进行“网络安全”现场知识竞赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析(满分100分,竞赛得分用x表示:为网络安全意识非常强,为网络安全意识强,为网路安全意识一般).收集整理的数据制成如下两幅统计图:



分析数据:

 

平均数

中位数

众数

甲组

a

80

80

乙组

83

b

c

根据以上信息回答下列问题:

(1)填空:_______,_______,_________;

(2)已知该校八年级有500人,估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少?

(3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛,求抽取的两名同学恰好一人来自甲组,另一人来自乙组的概率.

【答案】(1)83,85,70   

(2)200人    (3)

【解析】

【分析】(1)根据平均数,中位数与众数的含义分别求解即可;

(2)由500乘以得分为所占的百分比即可得到答案;

(3)记甲组满分的同学为A,乙组满分的两位同学分别为B,C,再利用列表的方法得到所有的等可能的情况有6种,符合条件的有4种,从而可得答案.

【小问1详解】

解:甲组的平均数为:(分),

乙组10个数据分别为:70,70,70,70,80,90,90,90,100,100,

排在第5个,第6个分别为:80,90,

所以中位数(分),

而70出现的次数最多,所以众数(分),

故答案为:83,85,70;

【小问2详解】

由题意得:(人),

所以八年级网络安全意识非常强的人数一共有200人.

【小问3详解】

记甲组满分的同学为A,乙组满分的两位同学分别为B,C,

列表如下:

 

A

B

C

A

 

A,B

A,C

B

B,A

 

B,C

C

C,A

C,B

 

所以所有的等可能的情况有6种,符合条件的有4种,

所以抽取的两名同学恰好一人来自甲组,另一人来自乙组的概率为

【点睛】本题考查的是频数直方图,折线图,平均数,众数,中位数的含义,利用样本估计

总体,利用列表或画树状图求解简单随机事件的概率,熟练的掌握统计与概率的基础知识是解本题的关键.

24. 如图,在中,,D是边上一点,以为直径的与相切于点E,连接并延长交的延长线于点F.

(1)求证:;

(2)若,求直径.

【答案】(1)证明过程见解析   

(2)5

【解析】

【分析】(1)连接OE,由AC是圆的切线得到∠AEO=90°=∠ACB,进而得到OE∥BC,得到∠F=∠DEO;再由半径相等得到∠ODE=∠DEO,进而得到∠F=∠ODE即可证明BD=BF;

(2)连接OE,由求出EC=2,证明∠CEB=∠F进而由求出BC=4,最后根据BD=BF=BC+CF=4+1=5.

【小问1详解】

证明:连接OE,如下图所示:

∵AC为圆O的切线,

∴∠AEO=90°,

∵AC⊥BC,

∴∠ACB=90°,

∴OE∥BC,

∴∠F=∠DEO,

又∵OD=OE,

∴∠ODE=∠DEO,

∴∠F=∠ODE,

∴BD=BF.

【小问2详解】

解:连接BE,如下图所示:

由(1)中证明过程可知:∠EDB=∠F,

∴,代入数据:,

∴EC=2,

又BD是圆O的直径,

∴∠BED=∠BEF=90°,

∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB,

∴∠F=∠CEB,

∴,代入数据:,

∴BC=4,

由(1)可知:BD=BF=BC+CF=4+1=5,

∴圆O的直径为5.

【点睛】本题考察了圆周角定理、圆中切线的性质、三角函数求线段长度等,熟练掌握圆的切线的性质及圆周角定理是解题的关键.

25. 2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰嫩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)

类别

价格

A款钥匙扣

B款钥匙扣

进货价(元/件)

30

25

销售价(元/件)

45

37

 

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;

(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少?

(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?

【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件   

(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件,购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大,最大为1080元   

(3)销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元

【解析】

【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件,根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解;

(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件,则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件,根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出;设销售利润为元,得到,随着m的增大而增大,结合m的范围由此即可求出最大利润;

(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售,则平均每天多销售2a件,每天能销售(4+2a)件,每件的利润为(12-a)元,由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90,求解即可.

【小问1详解】

解:设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件,

由题意可知: ,

解出:,

故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件.

【小问2详解】

解:设购进A款冰墩墩钥匙扣m件,则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件,

由题意可知:,

解出:,

设销售利润为元,则,

∴是关于m的一次函数,且3>0,

∴随着m的增大而增大,

当时,销售利润最大,最大为元,

故购进A款冰墩墩钥匙扣40件,购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大,最大为1080元.

【小问3详解】

解:设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售,则平均每天多销售2a件,每天能销售(4+2a)件,每件的利润为(12-a)元,

由题意可知:(4+2a)(12-a)=90,

解出:a1=3,a2=7,

故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时,平均每天销售利润为90元.

【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用,属于综合题,读懂题意是解决本题的关键.

26. 如图1,在四边形中,和相交于点O,.

  

(1)求证:四边形是平行四边形;

(2)如图2,E,F,G分别是的中点,连接,若,求的周长.

【答案】(1)证明过程见解析   

(2)24

【解析】

【分析】(1)由得到BC//AD,再证明△AOD≌△COB得到BC=AD,由此即可证明四边形ABCD为平行四边形;

(2)由ABCD为平行四边形得到BD=2BO,结合已知条件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD,进而得到△DOF与△BOA均为等腰三角形,结合F为OC中点得到∠DFA=90°,GF为Rt△ADF斜边上的中线求出;过B点作BH⊥AC于H,求出BH=9,再证明四边形BHGE为平行四边形得到GE=BH=9,最后将GE、GF、EF相加即可求解.

小问1详解】

证明:∵,

∴BC∥AD,

在△AOD和△COB中:,

∴△AOD≌△COB(ASA),

∴BC=AD,

∴四边形ABCD为平行四边形.

【小问2详解】

解:∵点E、F分别为BO和CO的中点,

∴EF是△OBC的中位线,

∴;

∵ABCD为平行四边形,

∴BD=2BO,

又已知BD=2BA,

∴BO=BA=CD=OD,

∴△DOF与△BOA均为等腰三角形,

又F为OC的中点,连接DF,

∴DF⊥OC,

∴∠AFD=90°,

又G为AD的中点,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知:;

过B点作BH⊥AO于H,连接HG,如上图所示:

由等腰三角形的“三线合一”可知:AH=HO=AO=AC=4,

∴HC=HO+OC=4+8=12,

在Rt△BHC中,由勾股定理可知,

∵H为AO中点,G为AD中点,

∴HG为△AOD的中位线,

∴HG∥BD,即HG∥BE,

且,

∴四边形BHGE为平行四边形,

∴GE=BH=9,

∴.

【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等,熟练掌握各图形的性质及定理是解决本题的关键.

27. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为,抛物线的对称轴交直线于点E.

(1)求抛物线的表达式;

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为,在平移过程中,该抛物线与直线始终有交点,求h的最大值;

(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)   

(2)   

(3)存在;或或或

【解析】

【分析】(1)根据抛物线顶点坐标即可求解;

(2)由题意得,求BC的表达式为:;抛物线平移后的表达式为:,根据题意得,即可求解;

(3)设,根据平行四边形的性质进行求解即可.

【小问1详解】

解:由可知,

,解得:,

∴.

【小问2详解】

分别令中,得,,;

设BC的表达式为:,

将,代入得,

解得:;

∴BC的表达式为:;

抛物线平移后的表达式为:,

根据题意得,,即,

∵该抛物线与直线始终有交点,

∴,

∴,

∴h的最大值为.

【小问3详解】

存在,理由如下:

将代入中得,

①当DE为平行四边形的一条边时,

∵四边形DEMN是平行四边形,

∴,,

∵轴,

∴轴,

∴设,,

当时,解得:,(舍去),

∴,

当时,解得:,

∴或;

②当DE为平行四边形的对角线时,设,,

∵D、E的中点坐标为:(2,0),

∴M、N的中点坐标为:(2,0),

∴,

解得:,(舍去),

∴此时点N的坐标为(3,0);

综上分析可知,点N的坐标为:或或或(3,0).

【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质,掌握相关知识并灵活应用是解题的关键。

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