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2022年湖北宜昌中考数学试卷及答案
注意事项：
本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.
参考公式：一元二次方程的求根公式是，二次函数图象的顶点坐标是，弧长，.
一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号，每题3分，计33分.）
1. 下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我市围绕创建全国文明典范城市、传承弘扬屈原文化，组织开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”等系列活动.在2022年“书香宜昌·全民读书月”暨“首届屈原文化月”活动中，100多个社区图书室、山区学校、农家书屋、“护苗”工作站共获赠了价值100万元的红色经典读物、屈原文化优秀读物和智能书柜.“100万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系.根据下表判断和的大小关系为（ ）
5 | … | … | … | … | … | 1 | |||
20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
A. B. C. D.
6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，.作直线，交于点，交于点，连接.若，，，则的周长为（ ）
A. 25 B. 22 C. 19 D. 18
7. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A. 30 B. 26 C. 24 D. 22
9. 如图是小强散步过程中所走的路程（单位：）与步行时间（单位：）的函数图象.其中有一时间段小强是匀速步行的.则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为.若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A. B. C. D.
11. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤.则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置.每题3分，计12分.）
12. 中国是世界上首先使用负数的国家.两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法.请计算以下涉及“负数”的式子的值：_________.
13. 如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为_________.
14. 如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_________.
15. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为_________.
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置.本大题共有9题，计75分.）
16.（本题满分6分）求代数式的值，其中.
17.（本题满分6分）解不等式，并在数轴上表示解集.
18.（本题满分7分）某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查.根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟 | ||||
组中值 |
| 75 | 105 | 135 |
频数/人 | 6 | 20 |
| 4 |
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，120~150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是_________；_________；样本数据的中位数位于_________~_________分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间.
19.（本题满分7分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为.桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为.拱高（弧的中点到弦的距离）.连接.
（1）直接判断与的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）.
20.（本题满分8分）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足.（参考数据：，，，，，，，，）
如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上.
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端距离墙面时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
21.（本题满分8分）已知菱形中，是边的中点，是边上一点.
（1）如图1，连接，.，.
①求证：；
②若，求的长；
（2）如图2，连接，.若，，求的长.
22.（本题满分10分）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加.5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
23.（本题满分11分）已知，在中，，，以为直径的与交于点，将沿射线平移得到，连接.
（1）如图1，与相切于点.
①求证：；
②求的值；
（2）如图2，延长与交于点，将沿折叠，点的对称点恰好落在射线上.
①求证：；
②若，求的长.
24.（本题满分12分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.直线由直线平移得到，与轴交于点.四边形的四个顶点的坐标分别为，，，
（1）填空： _________， _________；
（2）若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
（3）当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标
①当时，直接写出的取值范围；
②求的取值范围.
数学试题参考答案
一、选择题（每题3分，共计33分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
答案 | A | D | C | D | A | C | B | B | D | C | A |
二、填空题（每题3分，共计12分）
题号 | 12 | 13 | 14 | 15 |
答案 | －10 | 48 |
三、解答题（计75分）
16. 解：原式.
当时，原式.
17. 解：去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
如图：
18. 解：（1）；25；60，90；
（2）45；10
（3）（分钟）
答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟.
19. 解：（1）.
（2）设主桥拱半径为，由题意可知，，
所以，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为.
20. 解：（1）.当时，取最大值，
在中，，
∴，
所以梯子顶端与地面的距离的最大值3.8米
（2）在中，，
，
，
∴，
∵，
∴人能安全使用这架梯子.
21. 解：（1）①∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴.
②如第21题图1，连接.
∵是边的中点，，
∴，
又由菱形，得，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴.
（2）方法一：如第21题图2，延长交的延长线于点，
由菱形，得，，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，∴，
∴，，
∴，而为公共角.
∴，
∴，
又∵，∴.
注：延长交的延长线于点，方法类似.
方法二：如第21题图3，延长交的延长线于点，过点作于点.
由菱形，得，，
∴，，
∵是边的中点，∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，∴，
在和中，
，，
∴，
∴，
解得：，则，
∴，
在中，.
∴
22. 解：（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨.
，
解得：，
∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨.
（2）由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）
∴，∴的值20.
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元.
23. 解：（1）如第23题图1，①∵沿射线方向平移得到，
∴.
∵，∴.
方法一：连接，，
∵与相切于点，
∴.
∴.
∵，为公共边，
∴，
∴.
方法二：∵是的直径，
∴与相切于点.
∵与相切于点，
∴
（2）如第23题图2，方法1：过点作于点.
∴，
由（1）已证，
∴四边形是矩形，
∴，，
由（1）已证：，
同理可证：，
设，，
在中，，
∴，∴，
即.
方法二：如第23题图3，连接，，，
∵与相切于点，与相切于点，与相切于点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵与相切于点，∴，
∴，∴，
∴，
∴，即，
∵的直径为6，∴，
∴.
.AODG-AEOG
（3）①方法一：如第23题图4.
延长交于点，设，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵沿射线方向平移得到，沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，∴.
方法二：∵是的直径，∴，
设，在中，，
∴，
∴，
∵沿射线方向平移得到，
沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，∴.
方法三：如第23题图5，延长交于点.
∵沿射线方向平移得到，
∴，，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵是直径，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
即，∴.
②连接，交于点，如第23题图6，
∵沿折叠，点的对称点为，
∴，，
∵是的直径，
∴，点恰好落在射线上，
∴，
∵沿射线方向平移得到，
∴，.
∴点在的延长线上，
或者，连接，交于点，
∵沿折叠，点的对称点为，∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴点，，这三点在同一条直线上，
而为的直径，∴，
在和中，
；；，
∴，∴，
设，则，
∵，∴，
而，
∴，
∴，∴，
解得：，（不合题意，舍去）
∴，
在中，，
∴，∴，
在中，，
∴，
即的长为.
24. 解：（1），.
（2）设直线的解析式为，
∵直线经过和，
∴，解得，
∴直线：.
∵直线平移得到直线，且直线与轴交于点，
∴直线：，
∵双曲线经过点，
∴，
∴.
∵直线与双曲线有公共点，
联立解析式得：，
∴，
整理得：，
∵直线与双曲线有且只有一个交点，∴，
即，
整理得：，
化简得：，
∴，【注：或得到】
∵点在第二象限，∴，
解得，.
∴当时，可以取得最大值，最大值为2.
（3）如24题图1，当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析式.
得：，
得：，
整理得：，∴，
即，∴，
当时，直线：与抛物线有且只有一个交点.
①当时，四边形的顶点分别为
，，，.
第一种情况：如第24题图2，当直线经过时，此时与重合
∴时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标.
第二种情况：当直线经过点时，如24题图3所示.
，解得，，
当直线经过点时，如24题图4所示
，解得，，
∴，
综上所述，的取值范围为：或.
②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标.
，
解得，.
（Ⅱ）如图24题图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
，
化简，得：.
解得，（舍），，
从（Ⅰ）到（Ⅱ），在的值逐渐增大的过程中，均存在直线，同时与矩形、抛物线相交，且对于同一条直线上的交点，直线与矩形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
综上所述，的取值范围：.