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以下是小学生作文网www.zzxu.cn小编为你推荐的2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)，希望对你有所帮助。2015年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(5分)已知集合A={x|﹣2<x<1}，B={x|x﹣2x≤0}，则A∩B=( ) A. {x|0<x<1} B. {x|0≤x<1} C. {x|﹣1<x≤1} D. {x|﹣2<x≤1}
考点： 交集及其运算. 专题： 集合.
分析： 解不等式求出集合B，代入集合交集运算，可得答案.
2
解答： 解：∵集合A={x|﹣2<x<1}，B={x|x﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}， ∴A∩B={x|0≤x<1}， 故选：B.
点评： 本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题.
2.(5分)复数
=( )
2
A. 2(+i) B. 1+i C. i D. ﹣i
考点： 复数代数形式的乘除运算. 专题： 数系的扩充和复数.
分析： 利用复数的运算法则即可得出; 解答： 解：
=
=i，
故选：C.
点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题.
3.(5分)点M(1，1)到抛物线y=ax准线的距离为2，则a的值为( ) A.
B. ﹣
C.
或﹣
D. ﹣或
2
考点： 抛物线的简单性质.
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析： 求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 解答： 解：抛物线y=ax化为：x=
22
2
，它的准线方程为：y=﹣，
点M(1，1)到抛物线y=ax准线的距离为2， 可得|1+
|=2，解得a=或﹣
.
故选：C.
点评： 本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查.
4.(5分)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=( )
A. 6 B. 7 C. 10 D. 9
考点： 等差数列的前n项和. 专题： 等差数列与等比数列.
分析： 由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论.
解答： 解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0， ∴2(a7+a8)=0，∴a7+a8=0，
又a1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数， ∴当Sn最大时，n=7 故选：B
点评： 本题考查等差数列的前n项和的最值，得出数列项的正负变化是解决问题的关键，属基础题. 5.(5分)执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的
( )
A. 2012 B. 2016 C. 2014 D. 2015
考点： 程序框图.
专题： 图表型;算法和程序框图.
分析： 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin察规律可得sin
的取值以6为周期，且sin
+sin
+sin
+…sin
的值，观=0，依
+…sin
次验证选项即可得解.
解答： 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin因为sin
的取值以6为周期，且sin
+sin
+…sin+sin+sin+sin
=+sin+sin
+sin+…sin=0，
的值，
由2012=335*6+2，所以输入的t值是2012时，S=sin2014=335*6+4，所以输入的t值是2014时，S=sin2015=335*6+5，所以输入的t值是2015时，S=sin2016=335*6+6，所以输入的t值是2016时，S=sin
+sin
+sin
+sin
+sin
+sin2π=0<1
>1 +sin+sin
=+sin
<1 =0<1
故选：A.
点评： 本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查. 6.(5分)下列命题中正确命题的个数是( )
22
①对于命题p：?x∈R，使得x+x﹣1<0，则￢p：?x∈R，均有x+x﹣1>0; ②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件; ③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题; ④“m=﹣1”是“直线l1：mx+(2m﹣1)y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点： 命题的真假判断与应用. 专题： 简易逻辑. 分析： ①利用命题的否定即可判断出正误; ②利用充分必要条件定义即可判断出; ③利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误; ④对m分类讨论，利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可判断出.
解答： 解：①对于命题p：?x∈R，使得x+x﹣1<0，则￢p：?x∈R，均有x+x﹣1≥0，因此不正确; ②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件，正确; ③由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确; ④当m=0时，直线l1：mx+(2m﹣1)y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直;m≠0时，若两条直线垂直，则
=﹣1，解得m=﹣1，
2
2
可知：“m=﹣1”是“直线l1：mx+(2m﹣1)y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确.
综上可得：正确命题的个数为：2. 故选：B.
点评： 本题考查了简易逻辑的判定、相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力，属于中档题.
7.(5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
考点： 由三视图求面积、体积. 专题： 空间位置关系与距离.
分析： 根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积. 解答： 解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥， 其中面VAB⊥面ABC， VE⊥AB，CD⊥AB，
且AB=5，VE=3，CD=4，
则该三棱锥的体积V=×AB?CD?VE=故选：
C
=10，
点评： 本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键. 8.(5分)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|≥d，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. (1，] B. [，+∞) C. (1，3] D. [，+∞)
考点： 双曲线的简单性质.
专题： 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析： 设F(c，0)，B(0，b)，一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d=利用|FB|
≥
=b，|FB|=
，
d，可得a，c的关系，即可得出双曲线离心率的取值范围.
=b，
解答： 解：设F(c，0)，B(0，b)，一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d=
|FB|=，
10.(5分)设二项式(x﹣)(n∈N)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，n*
bn，则
n﹣1=( ) n﹣1n+1 A. 2+3 B. 2(2+1) C. 2 D. 1
考点： 二项式定理的应用;数列的求和.
专题： 等差数列与等比数列;二项式定理.
分析： 首先利用条件求得an、bn，再利用等比数列的求和公式计算所给的式子，可得结果. 解答： 解：由于二项式(x﹣)(n∈N)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，
﹣nn则an =2，bn =2， n*
所以===2n+1
故选：C.
点评： 本题主要考查展开式的二项式系数和与各项系数和的区别，等比数列的求和公式，属于中档题.
11.(5分)已知数列{an}满足an=n﹣n+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为( )
A.
B.
C. ﹣ D. ﹣
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
专题： 导数的综合应用.
分析： 令f(x)=x﹣x+3+m，(x≥1).利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出. 解答： 解：数列an=n﹣n+3+m，令f(x)=x﹣x+3+m，(x≥1).f′(x)=x﹣x， 由f′(x)>0，解得x>，此时函数f(x)单调递增;由f′(x)<0，解得1≤x<，此时函数f(x)单调递减.
∴对于f(n)来说，最小值只能是f(2)或f(3)中的最小值.
f(3)﹣f(2)=9﹣﹣(﹣5)>0， 323223232
∴f(2)最小，∴×8﹣5+3+m=1，
解得m=.
故选：B.
点评： 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了计算能力，属于中档题.
12.(5分)已知函数f(x)=
有且只有两个零点，则k的取值范围为( )
A. (0，1) B. (0，) C. (，1) D. (1，+∞)
考点： 函数的零点与方程根的关系.
专题： 计算题;导数的概念及应用.
分析： 求出双曲线的渐近线方程，y=﹣ln(1﹣x)在x=0处的切线方程，即可得出结论. 解答： 解：由题意，x≥0，f(x)=
线方程为y=±x;
当k=1时，由y=﹣ln(1﹣x)，可得y′==1可得x=0，即y=﹣ln(1﹣x)在x=0处的为双曲线4y﹣x=1在第一象限的部分，渐近22，若函数F(x)=f(x)﹣kx切线方程为y=x，
此时函数F(x)=f(x)﹣kx有且只有1个零点，
∴若函数F(x)=f(x)﹣kx有且只有两个零点，则k的取值范围为(，1)，
故选：C.
点评： 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.(5分)向量，满足||=1，|
|=
考点： 平面向量数量积的运算.
专题： 平面向量及应用.
分析： 由向量垂直的条件可得(
+)?(2﹣)=0，根据向量数量积的运算化简得即可求出向量与的夹角.
解答： 解：因为||=1，|
|=
所以(+)?(2﹣)=2
则
2+
所以﹣2=0，即=0， ，(+)⊥(2﹣)， +﹣=0， =0，，(+)⊥(2﹣)，则向量与的夹角为. ，则向量与的夹角为90°，
故答案为：90°.
点评： 本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量垂直的条件，属于中档题.
14.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为.
考点： 球的体积和表面积.
专题： 计算题;空间位置关系与距离.
分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可.
解答： 解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，
由余弦定理可得AB=6，
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，
得球半径R==4，
2故此球的表面积为4πR=64π.
故答案为：64π.
点评： 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力，计算能力.
15.(5分)某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 84 种不同选课方案(用数字作答).
考点： 排列、组合及简单计数问题.
专题： 排列组合.
分析： 先从4门课中任选2门，每一门为一步，第一门有4为同学可以选，第二门有3位同学可选，根据分步计数原理可得答案.
解答： 解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为
4=6种，四个学生选这两种课共有2=16中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有14=84种.
故答案为：84.
点评： 本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题
16.(5分)已知函数y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称，则sin2φ
.
考点： 两角和与差的正弦函数.
专题： 三角函数的求值.
分析： 利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可.
解答： 解：y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)=sin(πx+φ﹣α)，其中sinα=，cosα=.
∵函数的图象关于直线x=1对称，
∴π+φ﹣α=
即φ=α﹣+kπ， +kπ，
+kπ)=sin(2α﹣π+2kπ)=sin(2α﹣π)=﹣sin2α=﹣2sinαcosα
， 则sin2φ=sin2(α﹣=﹣2××=故答案为：
点评： 本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键.
三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)已知△ABC的面积为2，且满足0<(1)求θ的取值范围;
(2)求函数f(θ)=2sin(2?≤4，设和的夹角为θ. +θ)﹣cos2θ的取值范围.
考点： 两角和与差的正弦函数;数量积表示两个向量的夹角;三角函数的最值. 专题： 三角函数的求值.
分析： (1)由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围;
(2)化简可得f(θ)=1+2sin(2θ﹣
解答： 解：(1)由题意可得?)，由θ的范围和三角函数公式可得. =cbcosθ，
∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，
变形可得cb=
∴?=cbcosθ=?≤4，可得0<， =， ≤4 由0<解得tanθ≥1，又∵0<θ<π，
∴向量夹角θ的范围为[，
2); +θ)﹣cos2θ (2)化简可得f(θ)=2sin(
=2×﹣cos2θ
(2)由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望.
解答： 解：(1)由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：
100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，
②位置应填数字为：
=0.30.
补全频率分布直方图，
如右图所示.
平均年龄估值为：
(45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1)=33.5(岁).
(2)由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2， P(X=0)=
=，
P(X=1)=
=，
P(X=2)=
=，
∴X的分布列为：
EX==.
点评： 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.
19.(12分)如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点.
(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为若存在，确定点Q的位置;若不存在，请说明理由.
?
考点： 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
专题： 空间位置关系与距离;空间角.
分析： (Ⅰ)取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论;
(Ⅱ)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可.
解答： 证明：(Ⅰ)取PD中点M，连接MF、MA，
在△PCD中，F为PC的中点，∴
MF
正方形ABCD中E为AB中点，∴
AE， ，∴AEMF，
故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，
又∵EF?平面PAD，AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD;
(Ⅱ)结论：满足条件的Q存在，是EF中点.
理由如下：
如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，E(0，，0)，F(，，1)， 由题易知平面PAD的法向量为=(0，1，0)，
假设存在Q满足条件：设
∵=(，0，1)，∴Q(=λ， =(，，λ)，λ∈[0，1]， ，，λ)，
设平面PAQ的法向量为=(x，y，z)，
由，可得=(1，﹣λ，0)， ∴==， 由已知：=，解得：，
所以满足条件的Q存在，是EF中点.
点评： 本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题.
20.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，点A(2，)在椭圆上，且AF2与x轴垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值.
考点： 椭圆的简单性质.
专题： 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析： (1)有已知：c=2，
不存在或斜率存在两种情况讨论.
解答： 解：(1)有已知：c=2，∴a=，b=4， 2解得a=，b=4，从而写出方程.(2)分AB斜率2
故椭圆方程为;
(2)当AB斜率不存在时：
当AB斜率存在时：设其方程为：， ， 由得
2， 由已知：△=16
=8
即：，
， ﹣8(2k+1) |AB|=
O到直线AB的距离：d=， ，
∴S△AOB
=2=， ∴2k+1∈[1，2)∪(2，+∞)， ∴
∴此时
， ，
综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为.
点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答.
21.(12分)已知a是实常数，函数f(x)=xlnx+ax.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0，﹣2)，求实数a的值;
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，
①求证：﹣<a<0;
②求证：f(x2)>f(x1)>﹣.
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
专题： 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.
分析： (1)求出f(x)的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点(0，﹣2)，即可解得a; 2
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-1：几何证明选讲】
22.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M.
(1)求证：DE是圆O的切线;
(2)求证：DE?BC=DM?AC+DM?AB.
考点： 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明.
专题： 推理和证明.
分析： (1)连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线.
(2)DM=OD﹣OM=(AC﹣AB)，从而DM?AC+DM?AB=(AC﹣AB)?(AC+AB)=BC，由此能证明DE?BC=DM?AC+DM?AB.
解答： 证明：(1)连接BE，OE，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，
∴∠ABE=∠C，
∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，
∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线.
(2)证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴DM=OD﹣OM=(AC﹣AB)，
∴DM?AC+DM?AB
=DM?(AC+AB) =(AC﹣AB)?(AC+AB) =(AC﹣AB) 222
=BC
=DE?BC.
∴DE?BC=DM?AC+DM?AB.
2
点评： 本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE?BC=DM?AC+DM?AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23. 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m，0)，若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值.
考点： 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题： 坐标系和参数方程.
分析： (1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ=2ρcosθ，利用2可得直角坐标方程.直线L的参数方程是(t为参数)，把t=2y代入+m消去参数t即可得出.
222(2)把(t为参数)，代入方程：x+y=2x化为：+m﹣
2m=0，由△>0，得﹣1<m<3.利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出.
2解答： 解：(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：
22x+y=2x.
直线L的参数方程是(t为参数)，消去参数t可得.
(2)把(t为参数)，代入方程：x+y=2x化为：22+m﹣22m=0，
由△>0，解得﹣1<m<3.
2∴t1t2=m﹣2m.
∵|PA|?|PB|=1=t1t2，
2∴m﹣2m=1， 解得.又满足△>0.
∴实数m=1.
点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
【选修4-5：不等式选讲】
24.设函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>0;
2(Ⅱ)若?x0∈R，使得f(x0)+2m<4m，求实数m的取值范围.
考点： 绝对值不等式的解法.
专题： 不等式的解法及应用.
分析： (Ⅰ)不等式f(x)>0，即|2x﹣1|>|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集. (Ⅱ)根据f(x)的解析式，求出f(x)的最小值为f()，再根据f()+2m<4m，求得m的范围.
22解答： 解：(Ⅰ)不等式f(x)>0，即|2x﹣1|>|x+2|，即 4x﹣4x+1>x+4x+4，
即 3x﹣8x+3>0，求得它的解集为{x|x<﹣，或x>3}. 22
(Ⅱ)f(x)=|2x﹣1|﹣
|x+2|=，故f(x)的最小值为f()=﹣， 根据?x0∈R，使得f(x0)+2m<4m，可得4m﹣2m>﹣，即4m﹣8m﹣5<0， 求得﹣<m
<.
点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题.
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