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经过翻转、平移后,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ,而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家整理的相关的三角形的全等证明100题带答案供大家参考选择。三角形的全等证明100题带答案
全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
B
D
解:延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD?
1AB 2
延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF。
∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又 EF=CG
∴EF=AC
5. 已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A
证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD (SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
6. 已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
7. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
B
D 解:延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
8. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD?
1
AB
9. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF和EF。
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
∴ ∠EBF=∠BEF。
又∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
10. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又EF∥AB
∴∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又 EF=CG
∴EF=AC
11. 已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
B
证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD (SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
12. 已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
又∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠
BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠C
AB‖ED,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE,
∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:AE=BD,
∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC,
∴∠F=∠C。
14. 已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C
证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>BC时,E点是射线AB,DC的交点)。则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量)
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15. P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB
A D
在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE
证明:
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17. 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC. 解:延长AD至BC于点E,
∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:∠OAB=∠OBA
证明:
∵OM平分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM (AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON (SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.
P E
D
做
BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC BA∴∠
PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA
的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B
A
CDB
延长AC到E
使AE=AC 连接 ED
∵ AB=AC+CD
∴ CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF.
23.已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): A
D
C
证明:
∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∵DC∥AB
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:BD=2CE.
F
AEB E
证明:
BC∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠AB E=∠CB E
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求证:△AED≌△BFC。 DEFC
AB
证明:∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
26、(10分)如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:AM是△ABC的中线。
A
F
B
EMC
证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。求证:BD⊥AC。
A
D
BC
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF
A
D
BC
F
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。
A
FB
E
CD
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DC BF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上
.
证明:连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
31.已知:点A、F、E、C在同一条直线上, AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:△ABE≌△CDF(SAS)
32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。
连接BD;
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DC E\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=AD DE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.
AC
证明:
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,
C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
35.已知:如图,AB=AC,BD?AC,CE?AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:BE=CD.
E
证明: A ∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)
∴BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证:DE=DF.
证明:
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
37.已知:如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE.若AB = 5 ,求AD 的长?
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE 又∵
AC⊥BC于C,DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)
∴AD=AB=5
38.如图:AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。求证:MB=MC
A
C
证明:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB,MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME≌△CMF(AAS)
∴MB=MC.
39.如图,给出五个等量关系:①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA
求证:△DAB≌△CBA
证明:∵AD=BC,∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40.在△ABC中,?ACB?90?,AC?BC,直线MN经过点C,且AD?MN于D,
求证: ①?ADC≌?CEB;BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,
②DE?AD?BE;
(2)当直线MN
绕点C旋转到图
2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF
E C
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,
∴EC⊥BF.
42.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。
证明:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
在△ABF和△CDE中
,AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分) 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE.求证:BE∥CF.
证明:
∵AD是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE(已知)
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。
46、(10分)已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE?BF. 求证:AB∥CD.
D
B C
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90o
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD AD
1
34
CB
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
,∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
48、 (10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
E
CE>DE。当∠AEB越小,则DE越小。
证明:
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形 ,且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:AE=DE.
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB,
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.
图9 E B 作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o
∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB
∴△CFD≌△BED
∴∠ADC=∠BDE
全等三角形复习练习题
一、选择题
1.如图,给出下列四组条件:
① ;②;
③ ;④.
其中,能使 的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图, 分别为的, 边的中点,将此三
角形沿 折叠,使点 落在 边上的点 处.若,
则 等于( )
A. B. C . D.
3.如图(四),点是 上任意一点, ,还应补
充一个条件,才能推出 .从下列条件中补充
一个条件,不一定能推出 的是( )
A. B. C. D.
4.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两
个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF (B)BC=EF,AC=DF
(C)∠A=∠D,∠B=∠E (D)∠A=∠D,BC=EF
5.如图,△ABC中,∠C = 90°,AC = BC,AD是∠BAC的平分线,
DE⊥AB于E,若AC = 10cm,则△DBE的周长等于( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm
6. 如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中
转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,现在要到玻璃店去配
一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②③去
8.如图,在 中, ,是 的垂直平分线,交于
点 ,交 于点 .已知 ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
9.如图,, =30°,则 的度数为( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
10.如图,AC=AD,BC=BD,则有( )
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )
A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定
13.如图,OP平分,, ,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A. B. 平分
C. D. 垂直平分
14.如图,已知 那么添加下列一个条件后,仍无法判定( )
A. B.
C. D.
15.观察下列图形,则第 个图形中三角形的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题
1.如图,已知, ,要使 ≌ ,可补充的条件是 (写出一个即可).
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________
3.如图, ,请你添加一个条件: ,使 (只添一个即可).
4.如图,在ΔABC中,∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米。
5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形
有 个.
6.已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB=________度.
7如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
8.如图所示,AB = AD,∠1 = ∠2,添加一个适当的条件,使△ABC ≌ △ADE,则需要添加的条件是________.
三、解答题
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE.
2.如图,在 中, ,分别以 为边作两个等腰直角三角形和 ,使.
(1)求 的度数;(2)求证:.
4.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
5.如图,在△ABC和△DCB中,AB = DC,AC = DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:△ABC≌△DCB ;(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
9.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:BD=2CE.
10.如图, ,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
11.(7分)已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
[答案]
一、 选择题
1—5 cbccb
6—10 acdba
11—14 bdcb
二、填空题
1.略;
2.5;
3.AC=BD;
4.6;
5.283;
6.120;
7.①②③⑤;
8.AC=AE;
三、证明题
11.1全等三角形水平测试
◆夯实基础
一、耐心选一选,你会开心:(每题6分,共30分)
1.下列说法:①全 等图形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的 对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等,其中正确的说法为( )
A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④
2.如果 是 中 边上一点,并且 ,则 是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
3.一个正方形的侧面展开图有( ) 个全等的正方形.
A.2 个B.3个 C.4个D.6个
4.对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列说法正确的是( )
A.若 ,且 的两条直角边分别是水平和竖直状态,那么 的两条直角边也一定分别是水平和竖直状态
B.如果 , ,那么
C.有一条公共边,而且公 共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等
D.有一条相等的边,而且相等的边在每 个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等
二、精心填一填,你会轻 松(每题6分,共30分)
6.如图所示,沿 直线 对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌,AB的对应边是,BC的对应边是,∠BCA的对应角是.
第6题第7题
7.如图所示,△ACB≌△DEF,其中A与D,C与E是对应顶点,则CB的对应边是,∠ABC的对应角是.
8.如图,AB、DC相交于点O,△AOB≌△DOC,A、D为对应顶点,则这两个三角形中,相等的边是____________________,相等的角是____________________.
9.已知 , , ,则 , , 和 的度数分别为 , , .
10.请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形:
三、细心做一做,你会成功(共40分)
11.找出下列图中的全等图形.
12.找出下列图形中的全等图形.
(1)(2) (3)(4)(5)(6)
(7)(8)(9)(10)(11) (12)
13.如图,AB=DC,AC=DB,求证AB∥CD.
◆综合创新
14.如图,点 在一条直线上,△ △ 你能得出哪些 结论?(请写出三个以上的结论)
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15.把一张方格纸贴在纸板上.按图1所示画上正方 形,然后沿 图示的直线切成5小块.当你照图2的样子把这些拼成正方形的时候中间居然出现了一个洞!
我们发现,图1的正方形是由49个小正方形组成的.图2中拼成的正方形却只有48个小正方形.哪一个小正方形没有了?它到哪去了?
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16.如图, ,则 的度数为( )
A. B.
C. D.
17.如图,若 ,且 ,则 .
18.右图是用七巧板拼成的一艘帆船,其中全等的三角形共有对.
参考答案
夯实基础
1.A
2.D
3.C
4.A.
5.B
6.△ADC,AD,AC,∠DCA
7.EF,∠DFE
8.AB=DC、AO=DO、OB=OC,∠AOB=∠DOC、∠A=∠D、∠B=∠C.
9. ; , ,
10.分法可分别如下所示:
11.根据全等形的定义得全等形有天鹅、荷花.
12.(1)和(10),(2)和(12),(4)和(8),(5)和(9)是全等图形
13.分析:要证AB∥CD,只需∠ABC=∠DCB,要证∠ABC=∠DCB,只需△ABC≌△DCB.
证明:∵在△ABC和△DCB中, ,
∴△ABC≌△DCB(SSS).
∴∠ABC=∠DCB.
∴AB∥CD.
综合创新
14.由△ △ 可得到
△ △ 等.
15.5小块图形中最大的两块对换了位置之后,被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比 宽大一点点.这 意味着这个大正方形不再是严格的正方形.它的高增加了,从而使得面积增加,所增加的面积恰好等于那个方洞的面积.
中考链接
16.C
17.
18.2
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