【www.easydail.com--中考试题】

　　如图,在△abc中

　　题目一：

 

　　如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于

点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF

(1)求证：BF=2AE;

(2)若CD=，求AD的长.

 

　　分析：(1)由等腰三角

形的“三线合一”的性质知AE=AC.要证BF=2AE，只需证BF=AC,只需证△ADC≌△BD
F.(2)因为AD=AF+DF，所以可利用DF=CD求DF.由AF=FC在等腰直角三角形CDF中先求CF.

 

　　(1)证明：∵ AD⊥BC，∠BAD=45°，

　　∴ ∠ABD=∠BAD=45°.∴ AD=BD.

　　∵ AD⊥BC,BE⊥AC

,　∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°.

 

　　∴ ∠CAD=∠CBE.

　　又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

　　∴ △ADC≌△BDF.∴ AC=BF.

　　∵ AB=BC,BE⊥AC,

　　∴ AE=EC，即AC=2AE.∴ BF=2AE.

　　(2)解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=

 
.∴ 在Rt△CDF中，CF=2.

 

　　∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2.

　　∴ AD=AF+DF=2+

 
点拨：证明线段相等的常用方法有以下几种：(1)等腰三角形中的等角对等边;(2)全等三角形的对应边相等;(3)线段的垂直平分线的性质;(4)角的平分线的性质; (5)勾股定理;(6)借助第三条线段进行等量代换.

　　题目二：

　　如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3

　　，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°

　　(Ⅰ)若PB=12，求PA;

　　(Ⅱ)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

　　(I)在Rt△PBC中，cos∠PBC=PB  BC=12

　　，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°.

　　在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2-2PB•ABcos30°=(12)2+(3)2-2×12×3×32=74.

　　∴PA=72.

　　(II)设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos(90°-α)=sinα.

　　在△PBA中，由正弦定理得

　　ABsin∠APB=PBsin∠PAB，即

　　3sin150°　=sinαsin(30°-α)，

　　化为3cosα=4sinα.∴tanα=34

　　.

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