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苏州市2014-2015高三数学上学期期中考试卷
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2014-2015洛阳市高三数学上学期期中考试试卷(文科附解析)
本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，科核心知识的同时，突出考查考纲的基本能力兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、程序框图，向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、统计，概率等;考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上. 苏州市2014-2015高三数学上学期期中考试卷
2.考试结束，将答题卷交回.
【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题文】1.设集合 ,若 ，则实数m=
A.0 B.1 C.2 D.3
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】D ∵集合A={0，1}，∴1∈A.∵A⊆B，∴1∈B.∵B={-1，0，m-2}，∴1=m-2.∴m=3.故选：D.
【思路点拨】本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值.
【题文】2.已知，其中 , ,若 为实数，则实数 =
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】A ∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1•z2=(1+i)(2+bi)=2-b+(2+b)i，
∵z1•z2为实数，∴2+b=0，解得b=-2故选：A
【思路点拨】由题意可得z1•z2=2-b+(2+b)i，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得.
【题文】3.设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则
A.1 B.4 C.8 D.9
【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】C ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8=32，∴ (a2+a7)=32，
∴a2+a7=8.故选：C.
【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.
【题文】4.在长方体 中， ，则异面直线BD与B1C1所成的角为
A.30° B.60° C.90° D.不能确定，与h有关
【知识点】单元综合G12
【答案解析】B
∵B1C1∥BC，∴∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角(或所成的角的平面角)，
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD= ，AA1=h，∴tan∠DBC= ，
∴异面直线BD与B1C1所成的角为60°.故选：B.
【思路点拨】由B1C1∥BC，知∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角(或所成的角的平面角)，由此能求出异面直线BD与B1C1所成的角为60°.
【题文】5.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y的值是
A.-1 B.0.5 C.2 D.10
【知识点】算法与程序框图L1
【答案解析】A 当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，
将x=0.1代入y=lgx得y=-1故选A.
【思路点拨】按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx求出y.
【题文】6.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是
A. B. C. D.
【知识点】双曲线及其几何性质抛物线及其几何性质H6 H7
【答案解析】B ∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得 =1，抛物线的焦点F(1，0)
又∵双曲线的方程为x2- =1∴a2=1且b2=3，可得a=1且b= ，双曲线的渐近线方程为y=± x，即y=± x，
化成一般式得： x±y=0.因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d= = 故选：B
【思路点拨】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F(1，0).由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=± x，化成一般式得： x±y=0，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离.
【题文】7.已知 为R上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则
A.2 B.-2 C.8 D.-8
【知识点】函数的奇偶性与周期性B4
【答案解析】B ∵奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=f(x+4)，∴y=f(x)是周期为4的奇函数，又当x∈(0，2)时，f(x)=2x2，∴f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.故答案为：B.
【思路点拨】由已知得f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.
【题文】8.已知向量 ,其中 ，则 与 的夹角等于
A. B. C. D.
【知识点】平面向量的数量积及应用F3
【答案解析】C =cosθ×0+sinθ×(-1)=-sinθ，| |=1，| |=1，
∴cos< >= =-sinθ= cos( )，∵θ∈( ，π)，< >∈[0，π]，
∴，y=cox在[0，π]上单调递减，∴< >= 故选C.
【思路点拨】由向量夹角公式可得cos< >= =-sinθ=cos( )，
再由 ∈( ，π)，< >∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，可得结论.
【题文】9.已知直线l： 与圆O： 相交于A，B两点，则“ ”是“△OAB的面积为 ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4
【答案解析】A若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d= ，|AB|=2=2 =2 ，
若k=1，则|AB|=2 = ，d= = ，则△OAB的面积为 × ×
= 成立，即充分性成立.若△OAB的面积为 ，则S= × ×2
= ×2× = = ，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.
故“k=1”是“△OAB的面积为 ”的充分不必要条件.故选A.
【思路点拨】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【题文】10.已知实数x、y满足约束条件 若目标函数 的最大值为7，则 的最小值为
A.3 B.4 C. 7 D.12
【知识点】简单的线性规划问题E5
【答案解析】C
作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A(1，0)，B(3，4)，C(0，1)
设z=F(x，y)=ax+by(a>0，b>0)，
将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值.
∴zmax=F(3，4)=7，即3a+4b=7.
因此， = (3a+4b)( )= [25+12( )]，
∵a>0，b>0，可得 ≥2 =2，
∴ ≥ (25+12 2)=7，当且仅当a=b=1时， 的最小值为7.故答案为：7
【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7.再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时 的最小值为7.
【题文】11.若函数 存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】D ∵f(x)= x2-ax+lnx，∴f'(x)=x-a+ ，
由题意可知存在实数x>0，使得f'(x)=x-a+ =0，即a=x+ 成立，
∴a=x+ ≥2(当且仅当x= ，即x=1时等号取到)，∴实数a的取值范围是[2，+∞).故选：D.
【思路点拨】求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=x+ ，利用基本不等式求得x+ 的范围得答案.
【题文】12.已知定义在实数集R上的函数 满足 ，且 的导函数为 在R上恒有 ，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】B 令F(x)=f(x)-x-2,因为F(1)=0， 在R上恒有 ，为增函数，所以 的解集为 ，故答案为B
【思路点拨】构造新函数求大于0的解，利用单调性求出。
第II卷(非选择题，共90分)
【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
【题文】13.若等比数列 的各项都是正数，若 ，则 等于_________.
【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3
【答案解析】3 ∵等比数列{an}的各项都是正数，且a3a15=64，∴a9= = =8，
∴log2a9=log28=3故答案为：3
【思路点拨】由题意和等比数列的性质可得a9=8，代入要求的式子化简即可.
【题文】14.在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于 的概率是____.
【知识点】几何概型K3
【答案解析】
如图△PBC的面积= △ABC的面积，DE∥BC，
∴ ，又当P落在△ADE内时，△PBC的面积大于 ，∴所求概率P= .
【思路点拨】结合图形，求得符合条件的实验区域，利用面积比计算概率.
【题文】15.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为_____________.
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案解析】 由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，
一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，
所以几何体的体积为：
×2×2×2= .故答案为： .
【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可.
【题文】16.已知函数 ，若对于 ，都有 成立，则实数a的取值范围是_________.
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】(- ，- ) 令f(x)=1-ax-x2=0，∴ ，x2= ，
若f(x)>0成立∴ ，解得：- <a<- .故答案为(- ，- ).
【思路点拨】根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可.
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题文】17.(本小题满分12分)
在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c=2， .
(1)若△ABC等于 ，求a，b;
(2)若 ，求b.
【知识点】解三角形C8
【答案解析】(1) (2)
(1)由余弦定理及已知条件得 …………2分
又 得 . ………4分
联立 解得 . ………6分
(2)由 得， ……7分
……9分
由正弦定理得 ……12分
【思路点拨】利用余弦定理求出边，利用正弦定理解除边b.
【题文】18.(本小题满分12分)
年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人，某社区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表(2代表健康，1代表基本健康，0代表不健康，但生活能够自理，-1代表生活不能自理)：
(1)随机访问该社区一位80岁以下(不含80岁)的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少?
(2)按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该社区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.
健康指数 2 1 0 -1
60岁至79岁人数 120 133 32 15
80岁及以上的人数 9 18 14 9
【知识点】随事件的概率K1
【答案解析】(1) (2) 苏州市2014-2015高三数学上学期期中考试卷
(1)该社区80岁以下老龄人生活能够自理的概率为
所以，老人生活能够自理的概率为 . ……4分
(2) 根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人有280人，不大于0的老龄人有70人，所以被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，依次记为A1，A2，A3，A4，1位健康指数不大于0，记为B，从这5人中抽取3人的结果有10种，即{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}{A1，A3，A4}{A2，A3，A4}{A1，A2，B}{A1，A3，B}{A1，A4，B}{A2，A3，B}{A2，A4，B}{A3，A4，B}， ……8分
其中恰有1人老龄人的健康指数不大于0的取法为后6种.…………10分
所以被访问的3位老龄人中恰有1位的健康指数不大于0的概率为 .……12分
【思路点拨】列出各种情况下的结果，然后求出概率。
【题文】19.(本小题满分12分)
已知直三棱柱 中， ，点D是AB的中点.
(1)求证：平面CA1D 平面AA1B1B;
(2)若底面ABC为边长为2的正三角形， ,求三棱锥 的体积.
【知识点】单元综合G12
【答案解析】(1)略(2)1
(1)AC=BC，D是AB中点，AB⊥CD，又AA1⊥面ABC，CD 面ABC，
AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B……3分
CD 面CA1D，平面CA1D⊥面AA1B1B. ……6分
(2) ,由(1)知CD⊥面AA1B1B，所以高就是CD= …8分
BD=1，B1B= ，所以A1D=B1D=A1B1=2， ……10分
.………12分
【思路点拨】先利用线面垂直求出面面垂直，利用体积公式求出相应体积。
【题文】20.(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值;
(2)若k=2，求△PAB的面积S.
【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案解析】(1) (2)
(1)由题意知： ，故 ,
所以线段MN中点的坐标为 .……2分
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，
又直线PA过坐标原点，所以k= .……4分
(2)直线PA的方程为 ，代入椭圆方程得
解得 ，因此
于是 ，直线AC的斜率为 ，
故直线AB的方程为 .……6分
因此 ……8分
即直线AB的方程为 ，
联立 ，消去y得 .所以
从而 ,……10分
所以△PAB的面积S= ，……12分
【思路点拨】利用椭圆a,b,c关系求出a,b。利用现场公式求出弦长，再求出面积。
【题文】21.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求 的单调区间;
(2)若函数 没有零点，求a的取值范围.
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】(1) 的单调减区间是 ，单调增区间是
(2)
(1) .……1分
当 时，在 时， ,所以 的单调区间是 ;……3分
当 时， 与 在定义域上的情况如下：
的单调减区间是 ，单调增区间是 .……5分
(2)由(1)可知
①当 时， 是函数 的单调增区间，
且有 ，所以，此时函数有零点，不符合题意;7分
②当 时，函数 在定义域 上没有零点;……8分
③当 时， 是函数 的极小值，也是函数 的最小值，所以
当 ，即 时，函数 没有零点.……11分
综上所述，当 时， 没有零点.……12分
【思路点拨】先利用求导公式在定义域内求出单调性，根据单调性确定于零点个数。
【题文】22.(本小题满分10分)
选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD内接于 ,BD是 的直径， 于点E，DA平分 .
(1)证明：AE是 的切线;
(2)如果 ,求CD
【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案解析】(1)略(2)2
(1)连接OA，则CA=OD，所以∠CAD=∠ODA.
又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以CA//CE.……3分
因为AE⊥CE，所以CA⊥AE，所以AE是⊙O的切线.……5分
(2)由(1)可得△ADE∽△BAD，
所以 ,即 ，则BD=2AD，所以∠ABD=30°，从而∠DAE=30°
所以DE=AEtan30°=1.……8分
由切割线定理得AE2=ED•EC，
所以3=1×(1+CD)，所以CD=2.……10分
【思路点拨】(1)首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论.
(2)利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果
【题文】23.(本小题满分10分)
选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的极坐标方程为 .
(1)分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于P、Q两点，求 .
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】(1) ， (2)2
(1)由 得 .……2分
由 得 ，即 ……4分
(2)将 代入 ，
得 ……6分
所以 ……8分
从而 .……10分
【思路点拨】先将参数方程转化成普通方程，然后联立求出PQ的长度。
【题文】24.(本小题满分10分)
选修4-5：不等式选讲
设函数 的最大值为M.
(1)求实数M的值;
(2)求关于x的不等式 的解集.
【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】(1)M=3(2){x|-2≤x≤1}
(1)
当且仅当x=4时，等号成立.……4分
即实数M=3.……5分
(2)不等式 即
又 .……7分
所以不等式 与方程 同解，……8分
由绝对值的几何意义知，当且仅当-2≤x≤1时， ，
所以不等式 的解集为{x|-2≤x≤1}.……10分
【思路点拨】利用基本不等式求出M值，根据绝对值的几何意义求解。
苏州市2015高三数学上学期期中考试卷
下面是www.39394.com烟花美文网小编整理的苏州市2015高三数学上学期期中考试卷，供大家参考!
一、选择题(每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的)
1.设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A⊆B，则实数m=( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1•z2为实数，则实数b=( )
A.﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+a7=( )
A. 1 B. 4 C. 8 D. 9
4.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD= ，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为( )
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 不能确定，与h有关
5.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是( )
A.﹣1 B. 0.5 C. 2 D. 10
6.抛物线y2=4x的焦点到双曲线 的渐近线的距离是( )
A. B. C. 1 D.
7.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)=2x2，则f(2015)=( )
A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8
8.已知向量 =(cosθ，sinθ)，θ∈( ，π)， =(0，﹣1)，则 与 的夹角等于( )
A.θ﹣ B. +θ C. ﹣θ D. θ
9.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为 ”的( )
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
10. x、y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为7，则 的最小值为( )
A. 14 B. 7 C. 18 D. 13
11.若函数f(x)= x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣2]∪[2，+∞) B. (﹣∞，﹣2)∪(2，+∞)
C. [2，+∞) D. (2，+∞)
12.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R)，则不等式f(x)<x+1的解集为( )
A.(1，+∞) B.(﹣∞，﹣1)
C.(﹣1，1) D.(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.等比数列{an}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于 _________ .
14.在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于 的概率为 _________ .
15.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为 _________ .
16.已知函数f(x)=1﹣ax﹣x2，若对于∀x∈[a，a+1]，都有f(x)>0成立，则实数a的取值范围是 _________ .
三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C= .
(1)若△ABC的面积等于 ，求a，b;
(2)若cosA= ，求b.
18.(12分)年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：
健康指数 2 1 0 ﹣1
60岁至79岁的人数 120 133 34 13
80岁及以上的人数 9 18 14 9
其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”.
(Ⅰ)随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少?
(Ⅱ)按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.
19.(12分)已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点.
(1)求证：BC1∥平面CA1D;
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1= ，求三棱锥B1﹣A1DC的体积.
20.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值;
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.
21.(12分)已知函数f(x)=x+alnx.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)没有零点，求a的取值范围.
请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲
22.(10分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE.
(1)证明：AE是⊙O的切线;
(2)如果AB=2 ，AE= ，求CD.
【选修4—4】坐标系与参数方程
23.已知直线l的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴)中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|.
【选修4—5】不等式选讲
24.设函数f(x)= + 的最大值为M.
(Ⅰ)求实数M的值;
(Ⅱ)求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集.
19. 证明：(1)连接AC1交A1C于点E，连接DE
∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又∵D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D;
(2)AC=BC，D是AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，
∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AB=A，
∴CD⊥面AA1B1B，
又∵CD⊂面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)则由(2)知CD⊥面ABB1B，
∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD= ，
又∵BD=1，BB1= ，
∴A1D=B1D=A1B1=2， = ，
∴三棱锥B1﹣A1DC的体积 = = =1
20. 解：(1)由题设知，a=2，b= ，
故M(﹣2，0)，N(0，﹣ )，所以线段MN中点坐标为(﹣1，﹣ ).
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，
所以k= .
(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得 ，解得x=± ，
因此P( ， )，A(﹣ ，﹣ )
于是C( ，0)，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣ =0.
因此，d= .
(3)设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，
A(﹣x1，﹣y1)，C(x1，0).
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.
因为C在直线AB上，所以k2= ，
从而kk1+1=2k1k2+1=2• =
= = .
因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB.
21. 解：(I)∵f(x)=x+alnx，∴x>0， ，
∴当a≥0时，在x∈(0，+∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间是(0，+∞)，没的减区间;
当a<0时，函数f(x)与f′(x)在定义域上的情况如下：
x (0，﹣a) ﹣a (﹣a，+∞)
f′(x) ﹣ 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
函数的增区间是(﹣a，+∞)，减区间是(0，a).
(II)由(I)可知
当a>0时，(0，+∞)是函数f(x)的单调增区间，且有f(e )= ﹣1<1﹣1=0，f(1)=1>0，
所以，此时函数有零点，不符合题意;
当a=0时，函数f(x)在定义域(0，+∞)上没零点;
当a<0时，f(﹣a)是函数f(x)的极小值，也是函数f(x)的最小值，
所以，当f(﹣a)=a[ln(﹣a)﹣1]>0，即a>﹣e时，函数f(x)没有零点，
综上所述，当﹣e<a≤0时，f(x)没有零点.
22.
(1)证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC.
∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD
∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE
∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE是⊙O的切线
(2)在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
由(1)得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED
∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°
进一步求得：CD=2
故答案为：(1)略
(2)CD=2
23. 解：(1)直线l的参数方程为 (t为参数)，普通方程为y= x+2﹣2 ;
圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即(x﹣2)2+y2=4;
(2)x2+y2=4x，即(x﹣2)2+y2=4，表示以(2，0)为圆心，半径等于2的圆.
圆心到直线的距离为 =1，
∴|PQ|=2 =2 .
24. 解：(Ⅰ)函数f(x)= + = • + ≤ • =3，
当且仅当 = ，即 x=4时，取等号，故实数M=3.
(Ⅱ)关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3.
由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3，
∴|x﹣1|+|x+2|=3.
根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，
故不等式的解集为[﹣2，1].